Números del 1 al n --> $n$

Números del 1 al n --> nnn

Números del 1 al k --> kkk

Números de k a n ----> 1 <= k <= n ---> n-k+1n−k+1n-k+1

Secuencias --> Orden

Núm secuencias de k objetos sobre n elementos --> n^knkn^k
Núm secuencias de k objetos sobre n elementos sin repetición

n · (n-1) · (n-2) · ... · (n-k+1)
n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅(n−k+1)n · (n-1) · (n-2) · ... · (n-k+1) 
= \frac{n!}{(n-k)!}
=n!(n−k)!= \frac{n!}{(n-k)!}

Núm secuencias de k objetos sobre k elementos --> k!k!k!

Colecciones --> Desorden

Núm de colecciones de k objetos sobre n elementos

\dbinom{n}{k} = N
(nk)=N\dbinom{n}{k} = N

Como no importa el orden, para cada colección c \in Nc∈Nc \in N habrá k!k!k! permutaciones. Por lo tanto tendremos N = N · k!N=N⋅k!N = N · k!

N · k! = \frac{n!}{(n-k)!}
N⋅k!=n!(n−k)!N · k! = \frac{n!}{(n-k)!} 
N = \frac{n!}{(n-k)! · k!}
N=n!(n−k)!⋅k!N = \frac{n!}{(n-k)! · k!} 
\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! · k!}
(nk)=n!(n−k)!⋅k!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! · k!}

El número de colecciones elegidas \binom{n}{k}(nk)\binom{n}{k} es igual al número de colecciones rechazadas \binom{n}{n-k}(nn−k)\binom{n}{n-k}

n = 10 \\
k = 4 \\
n=10k=4n = 10 \\ k = 4 \\ 
\dbinom{10}{4} = \frac{10!}{(10-4)!·4!} = \frac{10!}{6! · 4!}
(104)=10!(10−4)!⋅4!=10!6!⋅4!\dbinom{10}{4} = \frac{10!}{(10-4)!·4!} = \frac{10!}{6! · 4!} 
\dbinom{10}{10-4} = \dbinom{10}{6} =\frac{10!}{(10-6)!6!} = \frac{10!}{4! · 6!}
(1010−4)=(106)=10!(10−6)!6!=10!4!⋅6!\dbinom{10}{10-4} = \dbinom{10}{6} =\frac{10!}{(10-6)!6!} = \frac{10!}{4! · 6!} 
 \frac{10·9·\cancel{8}·7·\cancel{6!}}{\cancel{6!}·\cancel{4}·3·\cancel{2}} = 10·3·7 = 210
10⋅9⋅8⋅7⋅6!6!⋅4⋅3⋅2=10⋅3⋅7=210 \frac{10·9·\cancel{8}·7·\cancel{6!}}{\cancel{6!}·\cancel{4}·3·\cancel{2}} = 10·3·7 = 210